1.2.从多项式合成滤波器

现代网络理论已经产生了一系列标准传递函数, 它们在某些所需方面提供了最佳滤波器性能. 综合是从这些传递函数导出电路元件值的过程. 第10章包含传递函数及其相关元件值的扩展表, 因此不需要综合设计. 此外,下载的计算机程序(参见 App. A)简化了设计过程. 然而,为了了解这些值是如何确定的,我们现在将讨论几种滤波器合成方法.

1.2.1.通过驱动点阻抗扩展来合成

Fig.1.1 的广义滤波器的输入阻抗是在端子3和4端接的情况下从端子1和2看到的阻抗, 称为网络的驱动点阻抗或Z11. 如果可以从给定的传递函数中确定Z11的表达式, 则可以扩展该表达式以定义滤波器.

描述最平坦的可能形状和阻带中单调递增衰减的一系列传递函数称为巴特沃斯低通响应. 这些全极点传递函数具有分母多项式根, 它们都落在一个以 jω 轴原点为半径的圆上. 该系列的衰减在 1 rad/s 时为 3 dB。
Eq.(1.2)的传递函数满足这个标准. 从Fig.1.3可以看出,如果以原点为中心绘制半径为1的圆, 它将与实根和两个复根相交. 如果将Fig.1.1的广义滤波器中的Rs设置为1Ω, 则可以根据巴特沃斯传递函数导出驱动点阻抗表达式:

$\displaystyle Z_{11}= \frac{D(s)-s^n}{D(s)+s^n} \qquad (1.8)$

其中D(s)是传递函数的分母多项式, n是多项式的阶数.

将 D(s) 代入Eq.(1.8) 后,使用连分数展开式展开 Z11. 这种扩展涉及两个多项式的比率的连续除法和反转. 最终形式包含一系列条目,每个条目交替表示一个电容器和一个电感器, 最后是电阻端接. 此过程由以下示例演示.

例1.1. 通过连续分数展开来合成 n=3 巴特沃斯低通滤波器

需求:

具有 Butterworth n = 3 响应的低通 LC 滤波器.

结果:

(a) 使用Butterworth 传递函数:

$\displaystyle T(s)=\frac{1}{s^3+2s^2+2s+1} \qquad(1.2)$

(b) 将D(s)=s3+2s2+2s+1和sn=s3代入式(1.8), 得到:

$\displaystyle T(s)=\frac{2s^2+2s+1}{2s^3+2s^2+2s+1} \qquad (1.9)$

$\displaystyle T(s)=\frac{1}{\frac{2s^3+2s^2+2s+1}{2s^2+2s+1}}$

(d) 将分母相除并将余数取反得到:

$\displaystyle Z_{11}= \frac{1}{s+\frac{1}{\frac{2s^2+2s+1}{s+1}}}$

(e) 经过进一步的除法和反演, 我们得到最终表达式:

$\displaystyle Z_{11}=\frac{1}{s+\frac{1}{2s+\frac{1}{s+1}}} \qquad(1.10)$

Fig.1.11的电路配置称为梯形网络,因为它由交替的串联和并联支路组成. 输入阻抗可以表示为以下连分数:

其中Y=sC和Z=sL 用于低通全极梯(电阻端接除外, 其中Yn=sC+1/RL).

然后可以通过检查从Eq.(1-10)和(1-11)推导出Fig.1.12. 这可以通过反转扩展 Z11 的过程来证明. 通过在向输入工作时交替添加导纳和阻抗, Z11被验证为等于Eq.(1.10).

1.2.2 不相等终端的综合

如果源电阻设置为1Ω且负载电阻希望为无限大(未端接), 则Fig.1.1的广义滤波器的端子 1 和 2 的阻抗可以表示为:

$\displaystyle Z_{11}=\frac{D(s\; even)}{D(s\; odd)} \qquad(1.12)$

D(s偶数)包含分母多项式的所有偶数次幂 s 项, 并且 D(s奇数)包含任何可实现的全极点低通传递函数的所有奇数次幂s项. 如示例1.1中所做的那样, 将 Z11 扩展为连分数以定义电路.

示例 1-2 用于无限端接的 n = 3 巴特沃斯低通滤波器的合成.

要求:

具有巴特沃斯n=3响应的低通滤波器,源电阻为1Ω, 具有无限端接.

结果:

(a) 使用巴特沃斯传递函数:

$\displaystyle T(s)=\frac{1}{s^3+2s^2+2s+1} \qquad (1.2)$

(b) 将D(s偶数) = 2s2+1 和 D(s奇数) = s3 + 2s 代入Eq.(1.12):

$\displaystyle Z_{11}=\frac{2s^2+1}{s^3+2s} \qquad(1.13)$

$\displaystyle Z_{11}=\frac{1}{\frac{s^3+2s}{2s^2+1}}$

(d) 将分母相除并将余数取反得到:

$\displaystyle Z_{11}=\frac{1}{0.5s+\frac{1}{\frac{2s^2+1}{1.5s}}}$

(e) 相除和进一步取反得到最后的连分数:

$\displaystyle Z_{11}=\frac{1}{0.5s+\frac{1}{1.333s+\frac{1}{1.5s}}} \qquad (1.14)$

电路如Fig.1.13所示.

1.2.3.通过等式系数合成

有源三极低通滤波器如Fig.1.14所示. 其传递函数由下式给出:

$\displaystyle T(s)=\frac{1}{s^3A+s^2B+sC+1} \qquad (1.15)$

其中:

A=C1*C2*C3 (1.16)

B=2C3*(C1+C2) (1.17)

C=C2+3*C3 (1.18)

如果需要巴特沃斯传递函数, 我们可以设置 Eq(1.15) 等于 Eq(1.2):

$\displaystyle T(s)=\frac{1}{s^3A+s^2B+sC+1}=\frac{1}{s^3+2s^2+2s+1} \qquad (1.19)$

令系数相等可得:

A=1

B=2

C=2

将这些系数代入Eq.(1.16) 到(1.18) 并求解C1, C2 和C3, 得到Fig.1.15 的电路.

Fig.1.15.Butterworth n = 3 active low-pass filter

直接从多项式合成滤波器为滤波器设计提供了一种优雅的解决方案. 然而, 它也可能涉及确定电路元件值的费力计算. 本手册中提供的曲线, 表格, 计算机程序和逐步程序大大简化了设计方法, 因此综合设计可以留给高级专家.

1.2.从多项式合成滤波器

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